I ponti di Konigsberg

Eulero, grande matematico del Settecento, si occupò per diversi anni della sua vita di un gioco che aprì la strada alla teoria dei grafi e alla topologia.
La città di Konigsberg, che tra l'altro diede i natali anche a Kant, era famosa per i suoi sette ponti che collegavano i vari quartieri della città; i ragazzi di Konigsberg giocavano a correre da un ponte all'altro cercando di passare una sola volta su ogni ponte.

Inutile dire che nessuno aveva trovato una soluzione, per questo aveva attirato l'attenzione di molti matematici che cercarono invano di risolvere il problema, finchè non arrivò Eulero che dimostrò che...il problema non aveva soluzione!
Cerchiamo di capire perchè. Innanzitutto trasformiamo l'immagine della città in modo che le quattro parti della città siano punti e i ponti siano delle linee che li collegano, abbiamo creato un grafo, dove i punti sono detti nodi e le linee archi. Utiliziamo prima una figura più schematica per capire meglio il grafo sotto.

Diamo due piccole definizioni:

-si dice nodo pari un nodo collegato a un numero pari di archi

-si dice nodo dispari un nodo collegato a un numero dispari di archi.

Eulero dimostrò che un grafo contenente solo nodi pari è sempre percorribile, cioè si può percorrere interamente per poi tornare al punto di partenza senza sovrapposizioni di percorso.
Invece se contiene nodi pari e solo due nodi dispari è sempre percorribile ma non si può tornare al punto di partenza.
Infine se ha tutti i nodi dispari non è più percorribile senza sovrapposizioni di percorso. Bene il problema dei ponti di Konigsberg è di questo tipo, quindi la soluzione è: non ha soluzione!

I granelli di sabbia dell'universo

Circa 2300 anni fa non esisteva ancora il sistema di numerazione posizionale e i numeri venivano rappresentati con le lettere dell'alfabeto, eppure Archimede volle dimostrare che era possibile esprimere un numero grande quanto si vuole.
Nella sua opera l'Arenario racconta di voler dimostrare al re Gerone che il numero di granelli di sabbia necessari per riempire l'intero Universo non è infinito, ma era possibile rappresentarlo.
L'idea era questa: iniziò col calcolare che un seme di papavero poteva contenere 10000 granelli, osservò poi che allineando 40 semi si poteva ottenere la misura di un dito e che una sfera che aveva il diametro di un dito conteneva 64000 semi e quindi 640000000 granelli di sabbia. Poi passò a una sfera di diametro 100 dita e poi a quella di diametro una miriade di dita (10000 dita=1 stadio) e così via fino alla sfera del cosmo che, secondo gli astronomi del tempo, era minore di una miriade di stadi. Secondo i suoi calcoli l'Universo poteva contenere 10 alla 63 granelli di sabbia.
Questo ragionamento è alla base dell'introduzione del concetto di potenza.

Abbasso le tabelline!

Vi siete mai chiesti come facevano i calcoli nell'antichità?
Gli Egizi, per esempio, usavano una tecnica molto semplice ed originale, che ha il vantaggio che non necessita di imparare tutte le tabelline a memoria (da sempre odiate dagli scolari), ma per utilizzarla basta conoscere solo la tabellina del 2 e sapere fare le somme.

Proviamo, ad esempio, a calcolare 32 per 25.
Costruiamo una tabella in cui nella prima colonna si mettono le potenze del 2 e sull'altra la successione dei termini ottenuti moltiplicando per due uno dei fattori:

Poichè 25=16+8+1, basterà sommare i multipli di 32 corrispondenti per ottenere il risultato: 512+256+32=800.

Questo metodo si può usare anche per le divisioni, basta creare una tabella analoga per il divisore.
Proviamo a calcolare 900 diviso 15:

 Poichè 900=480+240+120+60 allora il risultato sarà: 32+16+8+4=60.



Facile no? Basta saper moltiplicare per due!

Gioco di prestigio

Per dimostrare che la matematica può essere un gioco, vorrei iniziare proprio con il postare un giochino molto comune, di cui ne conosco numerose varianti, che qualche giorno fa ho trovato postato su facebook, ma ne ho ricevuti molti anche per email. E' uno di quei trucchetti che si possono usare per stupire gli amici facendo il prestigiatore. Di seguito ne cito uno pubblicato nel 1612 dal matematico Claude Gaspar Bachet nel suo libro Problèmes plaisants et délectables qui se font par le nombres.

Si invita una persona a pensare un numero, senza dirlo, e successivamente a effettuare questa serie di operazioni a mente:

1. moltiplicare il numero per 5;
2. aggiungere 6 al prodotto;
3. moltiplicare il risultato per 4;
4. aggiungere 9 al nuovo prodotto;
5. moltiplicare per 5 l'ultimo risultato ottenuto.

 Infine farci comunicare il risultato ottenuto, poi da questo basta sottrarre 165 e dividere per 100 per trovare il numero pensato.

Come si spiega? Quale calcolo matematico c'è sotto? E' facile:
Sia n il numero pensato, eseguiamo le operazioni da 1 a 5:

1. 5n
2. 5n+6
3. (5n+6)x4=20n+24
4. 20n+24+9=20n+33
5. (20n+33)x5=100n+165

Quindi al risultato finale basta sottrarre 165 e dividere per 100 per trovare n.
Abbiamo appena mostrato che saper risolvere un'equazione di primo grado può servire a fare un gioco di prestigio!  

Il più bel gioco inventato dall'uomo

Dicono che sia il più bel gioco inventato dall'uomo. Eppure molti non la conoscono (e la temono). E allora diciamolo forte e chiaro: la matematica è divertente, e anche facilmente accessibile.
Perchè questo blog? Per portare in primo piano il lato divertente della matematica, per dimostrare che la matematica non è soltanto calcolo e formule noiose da imparare a memoria, ma è un modo di ragionare e di indagare, è il metodo per scoprire il mondo che ci circonda e, perchè no, essa è come un gioco, il più bello inventato dall'uomo.
Lo scopo è, quindi, quello di illustrare i concetti matematici da un altro punto di vista, mostrare che quello che a scuola poteva sembrarci noioso in realtà può essere divertente, solo così tutti possono arrivare a capire la bellezza della matematica.