Narciso, secondo la mitologia greca, si innamorò della propria immagine riflessa in una pozza d'acqua, e fu trasformato nel fiore che ora porta il suo nome.
Ci occupiamo oggi dei numeri "in amore con sè stessi", i numeri narcisistici, definiti come i numeri che sono rappresentabili con una manipolazione matematica delle loro cifre.
In altre parole un numero narcisistico, o numero di Armstrong, è un numero che è la somma delle sue cifre elevate alla potenza del numero di cifre che lo compongono.
Consideriamo ad esempio il numero 153, che è il primo numero narcisistico dopo l'unità. Prendiamo le sue tre cifre, l'1, il 5 e il 3, le eleviamo alla terza potenza, cioè al numero delle sue cifre, e sommiamo le potenze:
153=1^3+5^3+3^3=1+125+27=153
Esistono solo 88 numeri narcisistici e il più grande è di ben 39 cifre!
Più in generale, i numeri narcisistici selvatici sono numeri uguali a un'espressione delle proprie cifre, che a volte si può ottenere anche in maniera bizzarra, ad esempio:
36=3!*6=3*2*1*6=36
71=sqrt(7!+1)=sqrt(7*6*5*4*3*2*1+1)=sqrt(5040+1)=sqrt(5041)=71
mercoledì 23 maggio 2012
mercoledì 18 aprile 2012
La quadratura del cerchio
La quadratura del cerchio, assieme al problema della trisezione
dell'angolo, a quello della duplicazione del cubo e a quello di quanti
tipi di triangoli Euclide era in grado di disegnare bendato,
costituisce un problema classico della geometria greca. Nell’antica
Grecia, infatti, quando la geometria era agli albori, la figura di base
era considerata il cerchio (che si trovava molto spesso in natura,
soprattutto nelle cose rotonde) e si tentava di ottenere le varie
figure geometriche a partire da esso, distorcendolo fino a
trasformarlo, per esempio, in un quadrato. Questo tipo di impostazione
del problema – la costruzione di un quadrato che avesse la stessa area
di un dato cerchio – comportò sin da subito una serie di problemi,
principalmente perché i matematici dell’epoca effettuavano i loro
tentativi sulle ruote dei carri, spesso deformandole irrimediabilmente.
I proprietari dei carri, infuriati, solevano usare poi le ruote, ormai
inservibili, per percuotere i matematici che le avevano rovinate, che
quindi aggiungevano alla frustrazione della mancata risoluzione
dell’enigma il dolore derivante dalle numerose e variegate tumefazioni.
E fu proprio uno dei matematici più malmenati a proporre ai suoi
colleghi di tentare di costruire più prudentemente questo quadrato
sulla pergamena ed esclusivamente con riga e compasso. Tutti i presenti
annuirono e decisero di ritrovarsi quando il compasso fosse stato
inventato. Il problema ha comunque tenuto occupati i matematici per
secoli. Nel 1643 il matematico belga Martin Differdange annunciò
trionfalmente di averlo risolto. Mentre già la notizia serpeggiava in
tutta la comunità formata dai 37 interessati, si scoprì che però non
aveva adoperato riga e compasso, ma un machete laser di sua invenzione
(anche se, nel tentativo di occultare le prove della sua scorrettezza
distrusse il prototipo e ne mangiò il progetto originale). Un anno
dopo, suo fratello tentò di riscattare l’onore della famiglia usando un
autentico compasso, ma non ottenne mai a un quadrato e si spinse solo
poco oltre il profilo della sua mucca frisona. Si moltiplicavano
intanto i tentativi falliti e sempre più matematici tentavano di
ottenere il quadrato percorrendo vie più semplici, come la
cancellazione di otto lati di un dodecagono.
Fu solo nel 1882 che l’impossibilità di quadrare il cerchio venne dimostrata rigorosamente, quando Ferdinand von Lindemann pubblicò la dimostrazione della trascendenza di pi greco con lo scopo esclusivo di far parlare di sé. In precedenza, von Lindemann aveva dimostrato che se pi greco fosse stato trascendente, l’antico problema della quadratura del cerchio con riga e compasso sarebbe stato irrisolvibile (anche per i più muscolosi). Trascorsi cinque minuti, dopo aver controllato che il risultato dimostrato fosse ancora quello, von Lindemann lo diffuse in tutto il mondo, non riuscendo comunque mai a uscire con una ragazza.
È questo quello che succede quando hai a che fare con un numero che ha un nome e una nazionalità: finisce per oscurarti. Ricordiamo, per esempio, l’esaurimento nervoso a cui andò incontro Eulero quando scoprì il numero trascendente 2,71828182845904523… e da cui fu guarito solo attribuendo a questo numero l’iniziale del suo nome (e). Anche in questo momento scienziati di tutto il mondo stanno progredendo nello stabilire le cifre conosciute di pi greco, perché pare che un grande matematico burlone abbia nascosto un tesoro inestimabile sotto l’ultima cifra.
Fu solo nel 1882 che l’impossibilità di quadrare il cerchio venne dimostrata rigorosamente, quando Ferdinand von Lindemann pubblicò la dimostrazione della trascendenza di pi greco con lo scopo esclusivo di far parlare di sé. In precedenza, von Lindemann aveva dimostrato che se pi greco fosse stato trascendente, l’antico problema della quadratura del cerchio con riga e compasso sarebbe stato irrisolvibile (anche per i più muscolosi). Trascorsi cinque minuti, dopo aver controllato che il risultato dimostrato fosse ancora quello, von Lindemann lo diffuse in tutto il mondo, non riuscendo comunque mai a uscire con una ragazza.
È questo quello che succede quando hai a che fare con un numero che ha un nome e una nazionalità: finisce per oscurarti. Ricordiamo, per esempio, l’esaurimento nervoso a cui andò incontro Eulero quando scoprì il numero trascendente 2,71828182845904523… e da cui fu guarito solo attribuendo a questo numero l’iniziale del suo nome (e). Anche in questo momento scienziati di tutto il mondo stanno progredendo nello stabilire le cifre conosciute di pi greco, perché pare che un grande matematico burlone abbia nascosto un tesoro inestimabile sotto l’ultima cifra.
domenica 18 marzo 2012
Numeri magici
Più si approfondisce lo studio della matematica e più si scopre quanto sia bella e perfetta. E' incredibile vedere come alcuni numeri possano racchiudere in sè la perfezione, perciò mi chiedo: la matematica non è dunque la scienza più alta? Più passa il tempo e più rimango sbalordita da quello che dieci cifre possono realizzare se disposte in un certo modo.
Vedete questo video e provate a dire che non è perfezione questa:
mercoledì 14 marzo 2012
Auguri pi greco!
Dalla staffetta del Pi Greco alla caccia al tesoro scientifica fino a convegni e feste online come il Carnevale della matematica: sono numerosi gli eventi organizzati in tutta Italia in occasione del Pi Day, il giorno dedicato al Pi greco che si celebra in tutto il mondo il 14 marzo.
Prodotto del rapporto fra la circonferenza del cerchio e il suo diametro, il Pi Greco serve a calcolare area e circonferenza del cerchio. I matematici festeggiano questo numero il 14 marzo perché nel sistema anglosassone questa data si scrive 03/14, come il Pi Greco che equivale a 3,14. Inaugurata nel 1988 a San Francisco ad opera del fisico Larry Shaw, la tradizione del Pi-day si è rapidamente estesa in tutto il mondo.
In Italia sono previsti eventi da Nord a Sud. Uno degli appuntamenti principali è il Carnevale della Matematica, nel quale siti e blog di matematici e divulgatori pubblicano insieme su un unico sito, Drop Sea, contributi divulgativi dedicati al Pi Greco. Appuntamento fisso di ogni mese per i matematici di tutta Italia, il 14 marzo il Carnevale della Matematica diventa un vero e proprio evento online, spiega Roberto Natalini, dell'Istituto per le Applicazioni del Calcolo 'M. Picone' del Consiglio Nazionale delle Ricerche (Cnr) e dell'università di Roma Tor Vergata.
Una delle principali sfide è trovare il modo per calcolare questo numero in modo sempre più preciso: prosegue così una tradizione antica quanto la matematica: "uno scriba egizio di nome Ahmes - spiega Natalini - è lo scrittore del più antico testo conosciuto contenente un'approssimazione del Pi greco, il papiro di Rhind, datato al XVII secolo a.C. e descrive il valore come 3,160. Archimede invece elaborò un metodo con cui è possibile ottenere approssimazioni buone del Pi greco e lo usò per dimostrare che esso equivale a circa 3,1419". La gara non è ancora finita e la giornata del Pi greco la rinnova ogni anno.
Ad aprire le "celebrazioni" del Pi Greco in Italia è stata la staffetta organizzata il 10 e 11 marzo a Udine. Per il 14 marzo sono in programma laboratori di matematica e robotica, la "Sfida all'ultima cifra", nella quale il Pi greco viene recitato a memoria, e poi: "A spasso con il Pi greco" una camminata nel centro cittadino lunga 3,14 chilometri alla scoperta di curiosità matematico-scientifiche. A Catanzaro il liceo "Siciliani" organizza una giornata divulgativa con studenti e docenti universitari.
martedì 13 marzo 2012
Abbasso le tabelline (2)
Oggi voglio mostrarvi un metodo ancora più facile e divertente per eseguire le moltiplicazioni, in cui basta solo saper eseguire le addizioni e...saper disegnare!
Ricordo che alle elementari per far star buona la classe la maestra dava da fare pagine di moltiplicazioni a più cifre, ci voleva un tempo lunghissimo per finirle e ovviamente il numero delle cifre dell'operazione era proporzionale alla probabilità di commettere un errore di calcolo, senza contare il fatto che bisognava sapere le tabelline alla perfezione.
Così mi chiedevo ma se a scuola si insegnasse questo metodo alternativo non sarebbe più facile risolvere le moltiplicazioni? E non sarebbe anche meno noioso? Unico inconveniente: le pagine dei quaderni sarebbero piene di griglie disegnate, a discapito forse dell'ordine...probabilmente per questo motivo le maestre non sarebbero propense ad insegnarlo!
Qui c'è il video con la descrizione del metodo, buona visione!
Ricordo che alle elementari per far star buona la classe la maestra dava da fare pagine di moltiplicazioni a più cifre, ci voleva un tempo lunghissimo per finirle e ovviamente il numero delle cifre dell'operazione era proporzionale alla probabilità di commettere un errore di calcolo, senza contare il fatto che bisognava sapere le tabelline alla perfezione.
Così mi chiedevo ma se a scuola si insegnasse questo metodo alternativo non sarebbe più facile risolvere le moltiplicazioni? E non sarebbe anche meno noioso? Unico inconveniente: le pagine dei quaderni sarebbero piene di griglie disegnate, a discapito forse dell'ordine...probabilmente per questo motivo le maestre non sarebbero propense ad insegnarlo!
Qui c'è il video con la descrizione del metodo, buona visione!
sabato 3 marzo 2012
Il teorema del pappagallo
E' il titolo del libro che ha rappresentato la mia iniziazione alla matematica, il primo libro che trattava di matematica ma che non fosse un testo scolastico, che mostra come dalla matematica si possa tirare fuori un romanzo, una trama che allo stesso tempo ripercorre la storia della matematica e racconta un'avvicente giallo.
La forza di questo romanzo sta nel fatto che riesce a spiegare i concetti matematici in modo semplice (il protagonista li spiega ai suoi nipoti), descrivendo soprattutto la bellezza della matematica, mostrando che essa non è solo calcoli.
Ed ora la scheda del libro:
Autore: Denis Guedj
Editore: Longanesi
Anno: 2000
Pagine: 564
Trama:
Pierre Ruche è un disabile ottantaquattrenne mai sposatosi che vive a Parigi insieme a Perrette Liard e ai figli di lei Jonathan, Lea e Max. Fra questi ultimi, Lea e Jonathan sono due gemelli diciassettenni, mentre Max è stato adottato da Perrette ed ha undici anni.
Pierre è un appassionato di libri e non a caso possiede una libreria, la cui commessa è Perrette. La sua vita cambia radicalmente quando da Manaus arriva una lettera da un suo vecchio compagno di università, Elgar Grosrouvre, che egli non vede e non sente da cinquant'anni. La lettera anticipa l'arrivo di una delle più grandi biblioteche private di matematica che Elgar aveva allestito, grazie anche a metodi poco ortodossi, a causa della sua passione per la matematica (materia in cui come l'autore si è laureato). Già allarmato da quella lettera Pierre, riceve poco dopo una seconda lettera in cui Grosrouvre spiega l'imminenza della sua morte che avverrà in circostanze misteriose e su cui Pierre indagherà attraverso gli indizi che Grosrouvre gli lascia nella lettera. Elgar infatti sostiene di aver trovato la dimostrazione dell'Ultimo teorema di Fermat e alla congettura di Goldbach e spiega a Pierre che un gruppo di persone vuole estorcergliele a tutti i costi. Ma egli non è disposto a trattare, e preferisce morire piuttosto che rivelare i suoi studi a gente poco perbene ma, pur di non farli sparire nel nulla, confida a Ruche di averli fatti imparare a un fedele compagno, dotato di eccezionale memoria. Così Grosrouvre presenta a Pierre una lista di matematici da Talete a Eulero, passando per Fermat, Cartesio e matematici arabi. Così Pierre inizia un viaggio attraverso aritmetica, geometria e algebra, passando dal mondo greco, al mondo arabo, per giungere fino ai grandi matematici europei delle età moderna e contemporanea. A questo viaggio partecipa tutta la famiglia di rue Ravignan (dove Ruche abita), più il taxista e amico di Pierre, Albert, e Habibi, proprietario di un negozio nei dintorni. Ruche si serve dei libri inviatigli da Grosrouvre (denominati "Biblioteca della Foresta") e di biblioteche cittadine (in primis la "Bibliothèque Nationale" di Parigi, e l'"Institut du Monde Arabe" di Parigi). È fondamentale però per la trama l'ingresso in scena di un pappagallo, battezzato "Nofutur", che Max salva nel primo capitolo da due probabili trafficanti di animali (Piccoletto Ben Messo, o PBM, e Spilungone Ben Messo, o SBM) e che egli porta a casa. Nofutur animerà le discussioni sui vari matematici con alcune sue perle di saggezza e sarà essenziale per il prosieguo del libro.
Indagando Pierre scopre parecchi indizi sulla dinamica della morte di Grosrouvre (avvenuta in un incendio che non si sa se doloso o accidentale o se addirittura l'abbia appiccato Grosrouvre stesso) ma il racconto subisce una svolta con i rapimenti di Nofutur e Max, rivendicati da qualcuno che si trova a Siracusa. Pierre viene allora invitato dal rapitore a raggiungerli. Egli accetta e parte assieme ad Albert per la città siciliana, dove incontra un altro suo conoscente dei tempi dell'università, un certo Don Ottavio che, con Pierre e Elgar, completava un terzetto di amici, e che, dopo essersi diviso dagli altri due era diventato un boss della mafia.
Pierre scopre allora che colui che voleva estorcere le dimostrazioni a Grosrouvre era proprio Don Ottavio e, con molta sorpresa scopre che il fedele compagno di Elgar era il pappagallo o, per meglio dire la "pappagalla" che prima di giungere a Max era stata per ben cinquant'anni Mamagueña, la fedele ed inseparabile amica di Grosrouvre. Max viene allora convinto da Don Ottavio a convincere Nofutur-Mamagueña a rivelare le dimostrazioni. Ma Mamagueña, a causa di uno shok subito per la morte del suo padrone, non ricorda e non parla. I quattro vanno allora a Manaus per vedere se lì Mamagueña riesce a ricordarsi, ma anche lì non si arriva a un risultato e anzi, mentre Max tenta di far ricordare a Mamagueña le dimostrazioni, Don Ottavio muore, lasciando a Pierre un messaggio: «Nell'incendio di Crotone, appiccato da Cilone, uno dei Pitagorici riuscì a salvarsi: Gr...». Il messaggio, facente riferimento a quando, nel V secolo a.C., venne rifiutato a un nobile (Cilone) di entrare nel "clan" dei Pitagorici e questi, per ripicca, incendiò la stanza dove essi si stavano riunendo, testimonia l'affetto che, nonostante tutto, Don Ottavio nutriva per Grosrouvre. Prima di morire, poi, Don Ottavio aveva inoltre chiesto a Pierre di credere al fatto che non aveva appiccato lui l'incendio che aveva ucciso Elgar.
Nell'ultimo capitolo Nofutur-Mamagueña, che era stato liberato da Max, spiega in una conferenza di pappagalli le dimostrazioni di Grosrouvre, dimostrazione, quella dell'ultimo teorema di Fermat che peraltro nel finale si apprende che viene espliata da un certo Andrew Wiles che ha veramente dimostrato l'Ultimo teorema di Fermat, la congettura di Goldbach a tutt'oggi è indimostrata.
La forza di questo romanzo sta nel fatto che riesce a spiegare i concetti matematici in modo semplice (il protagonista li spiega ai suoi nipoti), descrivendo soprattutto la bellezza della matematica, mostrando che essa non è solo calcoli.
Ed ora la scheda del libro:
Editore: Longanesi
Anno: 2000
Pagine: 564
Trama:
Pierre Ruche è un disabile ottantaquattrenne mai sposatosi che vive a Parigi insieme a Perrette Liard e ai figli di lei Jonathan, Lea e Max. Fra questi ultimi, Lea e Jonathan sono due gemelli diciassettenni, mentre Max è stato adottato da Perrette ed ha undici anni.
Pierre è un appassionato di libri e non a caso possiede una libreria, la cui commessa è Perrette. La sua vita cambia radicalmente quando da Manaus arriva una lettera da un suo vecchio compagno di università, Elgar Grosrouvre, che egli non vede e non sente da cinquant'anni. La lettera anticipa l'arrivo di una delle più grandi biblioteche private di matematica che Elgar aveva allestito, grazie anche a metodi poco ortodossi, a causa della sua passione per la matematica (materia in cui come l'autore si è laureato). Già allarmato da quella lettera Pierre, riceve poco dopo una seconda lettera in cui Grosrouvre spiega l'imminenza della sua morte che avverrà in circostanze misteriose e su cui Pierre indagherà attraverso gli indizi che Grosrouvre gli lascia nella lettera. Elgar infatti sostiene di aver trovato la dimostrazione dell'Ultimo teorema di Fermat e alla congettura di Goldbach e spiega a Pierre che un gruppo di persone vuole estorcergliele a tutti i costi. Ma egli non è disposto a trattare, e preferisce morire piuttosto che rivelare i suoi studi a gente poco perbene ma, pur di non farli sparire nel nulla, confida a Ruche di averli fatti imparare a un fedele compagno, dotato di eccezionale memoria. Così Grosrouvre presenta a Pierre una lista di matematici da Talete a Eulero, passando per Fermat, Cartesio e matematici arabi. Così Pierre inizia un viaggio attraverso aritmetica, geometria e algebra, passando dal mondo greco, al mondo arabo, per giungere fino ai grandi matematici europei delle età moderna e contemporanea. A questo viaggio partecipa tutta la famiglia di rue Ravignan (dove Ruche abita), più il taxista e amico di Pierre, Albert, e Habibi, proprietario di un negozio nei dintorni. Ruche si serve dei libri inviatigli da Grosrouvre (denominati "Biblioteca della Foresta") e di biblioteche cittadine (in primis la "Bibliothèque Nationale" di Parigi, e l'"Institut du Monde Arabe" di Parigi). È fondamentale però per la trama l'ingresso in scena di un pappagallo, battezzato "Nofutur", che Max salva nel primo capitolo da due probabili trafficanti di animali (Piccoletto Ben Messo, o PBM, e Spilungone Ben Messo, o SBM) e che egli porta a casa. Nofutur animerà le discussioni sui vari matematici con alcune sue perle di saggezza e sarà essenziale per il prosieguo del libro.
Indagando Pierre scopre parecchi indizi sulla dinamica della morte di Grosrouvre (avvenuta in un incendio che non si sa se doloso o accidentale o se addirittura l'abbia appiccato Grosrouvre stesso) ma il racconto subisce una svolta con i rapimenti di Nofutur e Max, rivendicati da qualcuno che si trova a Siracusa. Pierre viene allora invitato dal rapitore a raggiungerli. Egli accetta e parte assieme ad Albert per la città siciliana, dove incontra un altro suo conoscente dei tempi dell'università, un certo Don Ottavio che, con Pierre e Elgar, completava un terzetto di amici, e che, dopo essersi diviso dagli altri due era diventato un boss della mafia.
Pierre scopre allora che colui che voleva estorcere le dimostrazioni a Grosrouvre era proprio Don Ottavio e, con molta sorpresa scopre che il fedele compagno di Elgar era il pappagallo o, per meglio dire la "pappagalla" che prima di giungere a Max era stata per ben cinquant'anni Mamagueña, la fedele ed inseparabile amica di Grosrouvre. Max viene allora convinto da Don Ottavio a convincere Nofutur-Mamagueña a rivelare le dimostrazioni. Ma Mamagueña, a causa di uno shok subito per la morte del suo padrone, non ricorda e non parla. I quattro vanno allora a Manaus per vedere se lì Mamagueña riesce a ricordarsi, ma anche lì non si arriva a un risultato e anzi, mentre Max tenta di far ricordare a Mamagueña le dimostrazioni, Don Ottavio muore, lasciando a Pierre un messaggio: «Nell'incendio di Crotone, appiccato da Cilone, uno dei Pitagorici riuscì a salvarsi: Gr...». Il messaggio, facente riferimento a quando, nel V secolo a.C., venne rifiutato a un nobile (Cilone) di entrare nel "clan" dei Pitagorici e questi, per ripicca, incendiò la stanza dove essi si stavano riunendo, testimonia l'affetto che, nonostante tutto, Don Ottavio nutriva per Grosrouvre. Prima di morire, poi, Don Ottavio aveva inoltre chiesto a Pierre di credere al fatto che non aveva appiccato lui l'incendio che aveva ucciso Elgar.
Nell'ultimo capitolo Nofutur-Mamagueña, che era stato liberato da Max, spiega in una conferenza di pappagalli le dimostrazioni di Grosrouvre, dimostrazione, quella dell'ultimo teorema di Fermat che peraltro nel finale si apprende che viene espliata da un certo Andrew Wiles che ha veramente dimostrato l'Ultimo teorema di Fermat, la congettura di Goldbach a tutt'oggi è indimostrata.
domenica 26 febbraio 2012
I ponti di Konigsberg
Eulero, grande matematico del Settecento, si occupò per diversi anni della sua vita di un gioco che aprì la strada alla teoria dei grafi e alla topologia.
La città di Konigsberg, che tra l'altro diede i natali anche a Kant, era famosa per i suoi sette ponti che collegavano i vari quartieri della città; i ragazzi di Konigsberg giocavano a correre da un ponte all'altro cercando di passare una sola volta su ogni ponte.
Inutile dire che nessuno aveva trovato una soluzione, per questo aveva attirato l'attenzione di molti matematici che cercarono invano di risolvere il problema, finchè non arrivò Eulero che dimostrò che...il problema non aveva soluzione!
Cerchiamo di capire perchè. Innanzitutto trasformiamo l'immagine della città in modo che le quattro parti della città siano punti e i ponti siano delle linee che li collegano, abbiamo creato un grafo, dove i punti sono detti nodi e le linee archi. Utiliziamo prima una figura più schematica per capire meglio il grafo sotto.
Diamo due piccole definizioni:
Eulero dimostrò che un grafo contenente solo nodi pari è sempre percorribile, cioè si può percorrere interamente per poi tornare al punto di partenza senza sovrapposizioni di percorso.
Invece se contiene nodi pari e solo due nodi dispari è sempre percorribile ma non si può tornare al punto di partenza.
Infine se ha tutti i nodi dispari non è più percorribile senza sovrapposizioni di percorso. Bene il problema dei ponti di Konigsberg è di questo tipo, quindi la soluzione è: non ha soluzione!
La città di Konigsberg, che tra l'altro diede i natali anche a Kant, era famosa per i suoi sette ponti che collegavano i vari quartieri della città; i ragazzi di Konigsberg giocavano a correre da un ponte all'altro cercando di passare una sola volta su ogni ponte.
Inutile dire che nessuno aveva trovato una soluzione, per questo aveva attirato l'attenzione di molti matematici che cercarono invano di risolvere il problema, finchè non arrivò Eulero che dimostrò che...il problema non aveva soluzione!
Cerchiamo di capire perchè. Innanzitutto trasformiamo l'immagine della città in modo che le quattro parti della città siano punti e i ponti siano delle linee che li collegano, abbiamo creato un grafo, dove i punti sono detti nodi e le linee archi. Utiliziamo prima una figura più schematica per capire meglio il grafo sotto.
Diamo due piccole definizioni:
-si dice nodo pari un nodo collegato a un numero pari di archi
-si dice nodo dispari un nodo collegato a un numero dispari di archi.
Eulero dimostrò che un grafo contenente solo nodi pari è sempre percorribile, cioè si può percorrere interamente per poi tornare al punto di partenza senza sovrapposizioni di percorso.
Invece se contiene nodi pari e solo due nodi dispari è sempre percorribile ma non si può tornare al punto di partenza.
Infine se ha tutti i nodi dispari non è più percorribile senza sovrapposizioni di percorso. Bene il problema dei ponti di Konigsberg è di questo tipo, quindi la soluzione è: non ha soluzione!
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